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<!DOCTYPE html>

<title>Quantor</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Quantor</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Ein Quantor oder Quantifikator, die Re-Latinisierung des von <a href="Charles_Sanders_Peirce" title="Charles Sanders Peirce">C. S. Peirce</a> eingeführten Ausdrucks „quantifier“,<a href="#cite_note-1">[1]</a> ist ein <a href="Operator_(Mathematik)" title="Operator (Mathematik)">Operator</a> der <a href="Pr%C3%A4dikatenlogik" title="Prädikatenlogik">Prädikatenlogik</a>. Neben den <a href="Junktor" title="Junktor">Junktoren</a> sind die Quantoren Grundzeichen der Prädikatenlogik. Allen Quantoren gemeinsam ist, dass sie <a href="Variable_(Logik)" title="Variable (Logik)">Variablen</a> <a href="Skopus_(Logik)" title="Skopus (Logik)">binden</a>.

Die beiden gebräuchlichsten Quantoren sind der Existenzquantor (in natürlicher Sprache zum Beispiel als „mindestens ein“ ausgedrückt) und der Allquantor (in natürlicher Sprache zum Beispiel als „alle“ oder „jede/r/s“ ausgedrückt). Andere Arten von Quantoren sind Anzahlquantoren wie „ein“ oder „zwei“, die sich auf Existenz- beziehungsweise Allquantor zurückführen lassen, und Quantoren wie „manche“, „einige“ oder „viele“, die auf Grund ihrer Unbestimmtheit, im Gegensatz etwa zu „alle“ oder „kein(e)“,<a href="#cite_note-2">[2]</a> in der <a href="Klassische_Logik" title="Klassische Logik">klassischen Logik</a> nicht verwendet werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Existenz-_und_Allquantor">Existenz- und Allquantor</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schreib-_und_Sprechweise">Schreib- und Sprechweise</h3></div>

Der Existenzquantor wird durch das Zeichen ∃ (ein horizontal gespiegeltes, zumeist <a href="Serife" title="Serife">serifenloses</a> „E“) oder durch das Zeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigvee }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigvee }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/424eb787b9be7b652deb858148ac5412c317aebf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.582ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \bigvee }" loading="lazy"> dargestellt, manchmal (vor allem in maschinengeschriebenen Texten) als geklammertes gewöhnliches „E“. Der Allquantor wird durch das Zeichen ∀ (ein auf den Kopf gestelltes, zumeist serifenloses „A“) oder das Zeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigwedge }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigwedge }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b20eaee46377072a177e3577ea439d142574f6aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.582ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \bigwedge }" loading="lazy"> oder einfach durch eine in Klammern gesetzte Variable dargestellt.

<td>Schreibweise

</td>

<td>Variante 1

</td>

<td>Variante 2

</td>

<td>Sprechweise

</td>

<td>Gebräuchliche Bezeichnungen

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab833914405cde960b3b9af3feaa9e4fef96ffa9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.622ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \exists x}" loading="lazy"></td>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigvee _{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f332f295febad0ee61759827886b9b3781ae56e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:2.582ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \bigvee _{x}}" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (Ex)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d87a3704afef3cc1deef5dfb9e4b069eb59b7d57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.915ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (Ex)}" loading="lazy">

</td>

<td>„Für (mindestens) ein/einige/manche x gilt …“

bzw.

„Es existiert/gibt (mindestens) ein x, für das gilt …“

</td>

<td>Existenzquantor, Existenzialquantifikator, Partikularisator, Einsquantor, Manchquantor

</td></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a3fa2fb002baecbc5038bd3dd42bab57448b315.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.622ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \forall x}" loading="lazy"></td>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigwedge _{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba21f5f7608b606ee5381a0d179976ecdca6955a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:2.582ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \bigwedge _{x}}" loading="lazy"></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd1f6d437f1742bfd5ffbdccd2477c07e9909e04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.139ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x)}" loading="lazy">

</td>

<td>„Für alle/jedes x gilt …“

</td>

<td>Allquantor, Universalquantor, Universalquantifikator, Generalisator

</td></tr>

</tbody></table>

Die Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77ed842b6b90b2fdd825320cf8e5265fa937b583.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \exists }" loading="lazy"> (nicht den Existenzquantor selbst) führte <a href="Giuseppe_Peano" title="Giuseppe Peano">Giuseppe Peano</a> 1897 im ersten Band seines Formulaire de mathématiques ein;<a href="#cite_note-3">[3]</a> verbreitet wurde sie durch ihre Verwendung in den <a href="Principia_Mathematica" title="Principia Mathematica">Principia Mathematica</a>, dem ab 1910 erschienenen Grundlagenwerk <a href="Bertrand_Russell" title="Bertrand Russell">Russells</a> und <a href="Alfred_North_Whitehead" title="Alfred North Whitehead">Whiteheads</a>. Die Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bfc1a1a9c4c0f8d5df989c98aa2773ed657c5937.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \forall }" loading="lazy"> (nicht den Allquantor selbst) führte <a href="Gerhard_Gentzen" title="Gerhard Gentzen">Gerhard Gentzen</a> 1934 ein.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Die Schreibweise des Allquantors in Variante 1 geschieht in Anlehnung an das <a href="Logisches_Und" class="mw-redirect" title="Logisches Und">logische Und</a> (gilt eine Aussage für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, so gilt es für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}{\text{ und }}x_{2}{\text{ und }}\dots }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}{\text{ und }}x_{2}{\text{ und }}\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b5b40bfb44f99a45b106e291f7c3c566a1ef889.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.956ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{1}{\text{ und }}x_{2}{\text{ und }}\dots }" loading="lazy">) ebenso, wie die Schreibweise des Existenzquantors in Variante 1 an das <a href="Logisches_Oder" class="mw-redirect" title="Logisches Oder">logische Oder</a> angelehnt ist (existiert ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, für das die Aussage gilt, so gilt die Aussage für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}{\text{ oder }}x_{2}{\text{ oder }}\dots }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}{\text{ oder }}x_{2}{\text{ oder }}\dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cac6f2b5a3422e08eb2f91bca23415fdb68ad361.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.999ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{1}{\text{ oder }}x_{2}{\text{ oder }}\dots }" loading="lazy">). Aus dieser Analogie kann man die Regeln für die Verneinung einer Aussage, welche einen Allquantor oder einen Existenzquantor enthält, unter Verwendung der <a href="De_Morgansche_Gesetze" class="mw-redirect" title="De Morgansche Gesetze">De Morganschen Gesetze</a> erhalten.

Manche Autoren verstehen einen subtilen Unterschied zwischen der Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77ed842b6b90b2fdd825320cf8e5265fa937b583.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \exists }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bfc1a1a9c4c0f8d5df989c98aa2773ed657c5937.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \forall }" loading="lazy"> und Variante 1, der allerdings nur im <a href="Currying" title="Currying">Currying</a> besteht, also nicht im Ergebnis, sondern in der Reihenfolge, wie die Quantoren auf ihre Argumente wirken. Um Eindeutigkeit herzustellen, muss bei beiden Schreibweisen daher ggf. unterschiedlich geklammert werden.

Die Menge der betrachteten Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> wird als „<a href="Individuenbereich" class="mw-redirect" title="Individuenbereich">Individuenbereich</a>“ bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wahrheitsbedingungen">Wahrheitsbedingungen</h3></div>

Die Aussage <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists xF(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists xF(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bba2c9346c3013c3f2e07d3e5d0b7d3e8bdc734a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.502ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists xF(x)}" loading="lazy"> ist wahr, wenn es mindestens ein x gibt, das die Eigenschaft F hat. Die Aussage ist also auch dann wahr, wenn alle x F sind und die Grundmenge, über die quantifiziert wird, nicht leer ist. Die Aussage <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall xF(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall xF(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/730b70e84f0cdb5a52154587216cc4b08883fe2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.502ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall xF(x)}" loading="lazy"> ist wahr, wenn alle x F sind, sonst falsch.

Es erscheint naheliegend, den Existenzquantor als Verkettung von <a href="Disjunktion" title="Disjunktion">Disjunktionen</a> („oder“) und den Allquantor als Verkettung von <a href="Konjunktion_(Logik)" title="Konjunktion (Logik)">Konjunktionen</a> („und“) aufzufassen. Gehen wir davon aus, dass x als Wert eine natürliche Zahl annehmen kann, so ist man versucht zu schreiben:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists xA(x)\Leftrightarrow A(0)\lor A(1)\lor A(2)\lor \dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b44fadb42e6742e550d9a94f6175b9892853e2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.734ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists xA(x)\Leftrightarrow A(0)\lor A(1)\lor A(2)\lor \dots }" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall xA(x)\Leftrightarrow A(0)\land A(1)\land A(2)\land \dots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06f8b1a8b07cf042e4a5a19811c8455a1e77fd29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.734ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall xA(x)\Leftrightarrow A(0)\land A(1)\land A(2)\land \dots }" loading="lazy"></dd></dl>

Der entscheidende Unterschied ist aber, dass die Variable des Quantors bei unendlich großem Individuenbereich potentiell unendlich viele Werte annehmen kann, während eine Konjunktion oder Disjunktion niemals unendlich lang werden kann. Daher muss man sich bei obigem Beispiel auch am Ende der Konjunktion bzw. Disjunktion mit Punkten (für „usw.“) behelfen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele_für_Formalisierungen">Beispiele für Formalisierungen</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiele_für_einstellige_Prädikate">Beispiele für einstellige Prädikate</h4></div>

Wenn die Leerstelle eines einstelligen Prädikats durch einen Quantor gebunden wird, entsteht bereits eine fertige Aussage. Es gibt daher nur zwei Möglichkeiten, ein einstelliges Prädikat mittels eines Quantors in eine Aussage zu überführen: <a href="Allquantifizierung" class="mw-redirect" title="Allquantifizierung">Allquantifizierung</a> und Existenzquantifizierung.

Am Beispiel des einstelligen Prädikats „_ ist rosa“, das hier als „F(_)“ formalisiert werden soll:

<dl><dt>Allquantifizierung</dt>

<dd>„Alles ist rosa“ – „Für jedes ‚Ding‘ gilt, dass es rosa ist“ – „Für jedes x gilt: x ist rosa“. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall xF(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall xF(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/730b70e84f0cdb5a52154587216cc4b08883fe2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.502ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall xF(x)}" loading="lazy"></dd>

<dt>Existenzquantifizierung</dt>

<dd>„Etwas (mindestens ein ‚Ding‘) ist rosa“ – „Es gibt mindestens ein ‚Ding‘, das rosa ist“ – „Es gibt mindestens ein x, für das gilt: x ist rosa“. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists xF(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists xF(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bba2c9346c3013c3f2e07d3e5d0b7d3e8bdc734a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.502ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists xF(x)}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiele_für_komplexe_Sätze">Beispiele für komplexe Sätze</h4></div>

Beim Formalisieren sprachlicher Äußerungen verbindet sich der Existenzquantor auf natürliche Weise mit dem „und“ (<a href="Konjunktion_(Logik)" title="Konjunktion (Logik)">Konjunktion</a>) und der Allquantor mit dem „wenn–dann“ (materiale <a href="Implikation" title="Implikation">Implikation</a>)

<dl><dt>Existenzquantor</dt>

<dd>Wollen wir den Satz formalisieren:

<dl><dd>Ein Mann raucht.</dd></dl></dd>

<dd>so ist dieser zunächst aufzufassen als:

<dl><dd>Es gibt jemanden, der Mann ist und raucht.</dd></dl></dd>

<dd>beziehungsweise – wenn man, wie in der Formalisierung, die <a href="Koreferenz" title="Koreferenz">Koreferenz</a> des <a href="Relativsatz" title="Relativsatz">relativen Anschlusses</a> „jemand ... der“ durch die Verwendung einer Variable ausdrückt –:

<dl><dd>Es gibt mindestens ein x, für das gilt: x ist ein Mann und x raucht.</dd></dl></dd>

<dd>(man beachte das „und“) und dann folgendermaßen zu formalisieren:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x(M(x)\land R(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cc87f3136dd9705871857af9939238772ab4fb7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.498ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists x(M(x)\land R(x))}" loading="lazy">,</dd></dl></dd>

<dd>wobei M(x) für „x ist Mann“ und R(x) für „x raucht“ steht.</dd></dl>

<dl><dt>Allquantor</dt>

<dd>Formalisieren wir dagegen:

<dl><dd>Alle Männer rauchen.</dd></dl></dd>

<dd>so formen wir dies zunächst um in:

<dl><dd>Für jedes „Ding“ gilt: Wenn es ein Mann ist, dann raucht es.</dd></dl></dd>

<dd>beziehungsweise:

<dl><dd>Für jedes x gilt: Wenn x ein Mann ist, dann raucht x.</dd></dl></dd>

<dd>(wo wir das „wenn–dann“ verwenden) und formalisieren dann:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x(M(x)\rightarrow R(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46465110c0b1ce60c08eae8cbd85a6d0dfa13d5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.53ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x(M(x)\rightarrow R(x))}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<dl><dt>Nichtexistenz</dt>

<dd>Der natürlichsprachliche Quantor „kein“ lässt sich auf verschiedene Weisen formalisieren:

<dl><dd>Kein Mann raucht.</dd></dl></dd>

<dd>lässt sich umschreiben als:

<dl><dd>Es stimmt nicht, dass es mindestens ein „Ding“ gibt, das Mann ist und das raucht.</dd></dl></dd>

<dd>beziehungsweise:

<dl><dd><dl><dd>Es stimmt nicht, dass es mindestens ein x gibt, für das gilt: x ist ein Mann und x raucht.</dd></dl></dd></dl></dd>

<dd>worauf man es wie folgt formalisieren kann:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lnot \exists x(M(x)\land R(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a7407e5889c54a079bf6d1381d04fd505376607.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.049ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lnot \exists x(M(x)\land R(x))}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<dd>Eine andere Formalisierung erreicht man, wenn man die Aussage „Kein Mann raucht“ auffasst als „Für alle x gilt: wenn x ein Mann ist, raucht x nicht“.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele_für_quantorenlogische_Satzformeln">Beispiele für quantorenlogische Satzformeln</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Einfach_quantifizierte_Satzformeln">Einfach quantifizierte Satzformeln</h4></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow R(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/396cf0d0f672257fd084d4c8fe6811a74d6dda3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.587ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow R(x))}" loading="lazy"></dt>

<dd>Für alle Dinge x gilt: wenn das Prädikat S auf x zutrifft, so trifft auch das Prädikat R auf x zu. Oder: Alle S sind R.</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow \lnot R(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5ca6c2304b80df13527f0b814ce737389b5a6ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow \lnot R(x))}" loading="lazy"></dt>

<dd>Für alle Dinge x gilt: wenn das Prädikat S auf x zutrifft, so trifft das Prädikat R auf x nicht zu. Oder: Alle S sind nicht R. Oder: Kein S ist ein R.</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x(S(x)\wedge R(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d5be9475e4d383dc6e4a84cbb0573aab4ecafa2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists x(S(x)\wedge R(x))}" loading="lazy"></dt>

<dd>Es gibt (mindestens) ein Ding x, für das gilt: das Prädikat S trifft auf x zu und das Prädikat R trifft auf x zu. Oder: Einige S sind R.</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x(S(x)\wedge \lnot R(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c59819adbdfd50245768a7a70b8f4d2db47bfceb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.106ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists x(S(x)\wedge \lnot R(x))}" loading="lazy"></dt>

<dd>Es gibt (mindestens) ein Ding x, für das gilt: das Prädikat S trifft auf x zu und das Prädikat R trifft auf x nicht zu. Oder: Einige S sind nicht R.</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x(S(x)\wedge R(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f647078c2b63e476767f93e80c7ce6452c676641.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x(S(x)\wedge R(x))}" loading="lazy"></dt>

<dd>Für alle Dinge x gilt: das Prädikat S trifft auf x zu und das Prädikat R trifft auf x zu. Oder: Alles ist S und R.</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x(S(x)\rightarrow R(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae353c3193a0403f2aa5c13303a6380c0a34af11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.587ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists x(S(x)\rightarrow R(x))}" loading="lazy"></dt>

<dd>Es gibt (mindestens) ein Ding x, für das gilt: wenn das Prädikat S auf x zutrifft, so trifft das Prädikat R auf x zu. Oder: Nicht alle x sind S und nicht R.</dd>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x({\mathit {Schwein}}(x)\rightarrow {\mathit {Rosa}}(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb258eccf1a22fbba8a51b37d9eac5c75b07388f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.543ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x({\mathit {Schwein}}(x)\rightarrow {\mathit {Rosa}}(x))}" loading="lazy"></dt>

<dd>Alle Schweine sind rosa (wörtlich: Für jedes Ding gilt: Wenn es ein Schwein ist, dann ist es auch rosa.)</dd>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x({\mathit {Schwein}}(x)\rightarrow \lnot {\mathit {Rosa}}(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdcb56816138b62b72e5baaa54053147356924f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.093ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x({\mathit {Schwein}}(x)\rightarrow \lnot {\mathit {Rosa}}(x))}" loading="lazy"></dt>

<dd>Kein Schwein ist rosa (wörtlich: Für jedes Ding gilt: Wenn es ein Schwein ist, dann ist es nicht rosa.)</dd>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x({\mathit {Schwein}}(x)\wedge {\mathit {Rosa}}(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c2d2158ae80ac30bc5f65f79dfb6eebd803a448.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists x({\mathit {Schwein}}(x)\wedge {\mathit {Rosa}}(x))}" loading="lazy"></dt>

<dd>Es gibt mindestens ein rosa Schwein (wörtlich: Es gibt mindestens ein Ding, das sowohl Schwein als auch rosa ist.)</dd>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x({\mathit {Schwein}}(x)\wedge \lnot {\mathit {Rosa}}(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24f5559de12d5c9fb4bd540d1c2a018f34917438.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.061ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists x({\mathit {Schwein}}(x)\wedge \lnot {\mathit {Rosa}}(x))}" loading="lazy"></dt>

<dd>Es gibt mindestens ein nichtrosa Schwein (wörtlich: Es gibt mindestens ein Ding, das sowohl Schwein als auch nichtrosa ist.)</dd>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x({\mathit {Schwein}}(x)\wedge {\mathit {Rosa}}(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7c6a294a23ec4be83a0e0ef88ce62410b08662f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x({\mathit {Schwein}}(x)\wedge {\mathit {Rosa}}(x))}" loading="lazy"></dt>

<dd>Alles ist ein rosa Schwein (wörtlich: Für jedes Ding gilt, dass es sowohl ein Schwein als auch rosa ist).</dd>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x({\mathit {Schwein}}(x)\rightarrow {\mathit {Rosa}}(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11520a869d83c51cddf5795c80beb55ef2ceccb1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.543ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists x({\mathit {Schwein}}(x)\rightarrow {\mathit {Rosa}}(x))}" loading="lazy"></dt>

<dd>Diese selten gebrauchte Aussage, deren wörtliche Übersetzung „Es gibt mindestens ein Ding, das unter der Voraussetzung, dass es ein Schwein ist, auch rosa ist“ lautet, trifft die Feststellung, dass nicht alle Dinge nichtrosa Schweine sind.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Mehrfach_quantifizierte_Satzformeln">Mehrfach quantifizierte Satzformeln</h4></div>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x\exists y{\mathit {Liebt}}(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf5a85f85abf676b71e0ced7410a881c1e1bcb75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.482ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists x\exists y{\mathit {Liebt}}(x,y)}" loading="lazy"></dt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists y\exists x{\mathit {Liebt}}(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56ce0f6a0f4c1d6200dc3052e8d5c36e3b277e99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.482ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists y\exists x{\mathit {Liebt}}(x,y)}" loading="lazy"></dt>

<dd>Die beiden Aussagen „Mindestens eine/r liebt mindestens eine/n“ und „Mindestens eine/r wird von mindestens einer/m geliebt“ sind synonym.</dd>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\forall y{\mathit {Liebt}}(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7130a1310279d58ef2c642ab805ecee28e0f663b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.482ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x\forall y{\mathit {Liebt}}(x,y)}" loading="lazy"></dt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall y\forall x{\mathit {Liebt}}(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b59ad6db18085090f5f05f240bf2d07ac265e9be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.482ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall y\forall x{\mathit {Liebt}}(x,y)}" loading="lazy"></dt>

<dd>Die beiden Aussagen „Jede/r liebt jede/n“ und „Jede/r wird von jeder/m geliebt“ sind synonym.</dd>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x\forall y{\mathit {Liebt}}(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e36e8b5543d894e3750b755447cd89412476501d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.482ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists x\forall y{\mathit {Liebt}}(x,y)}" loading="lazy"></dt>

<dd>Es gibt jemanden, der/die alle liebt (wörtlich: Es gibt ein Ding, sodass für alle Dinge gilt, dass ersteres letzteres liebt); kürzer: Jemand liebt alle.</dd>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists y\forall x{\mathit {Liebt}}(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e011a4ebb3cb39b2a36946462a929861fd90e90.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.482ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists y\forall x{\mathit {Liebt}}(x,y)}" loading="lazy"></dt>

<dd>Es gibt jemanden, der/die von allen geliebt wird (wörtlich: Es gibt ein Ding, sodass für alle Dinge gilt, dass letzteres ersteres liebt); kürzer: Jemand wird von allen geliebt (d. h., alle lieben denselben bzw. dieselbe/n).</dd>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\exists y{\mathit {Liebt}}(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63917a56866327174c49438fe6621080daef2360.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.482ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x\exists y{\mathit {Liebt}}(x,y)}" loading="lazy"></dt>

<dd>Für jeden gibt es jemanden, sodass erstere/r letztere/n liebt (wörtlich: Für jedes Ding gibt es ein Ding, sodass ersteres letzteres liebt), kürzer: Jede/r liebt irgendjemanden (d. h., jeder liebt, aber es muss nicht jeder denselben/dieselbe/n lieben).</dd>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall y\exists x{\mathit {Liebt}}(x,y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89a1365635cbdb810921636095432336011cbb75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.482ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall y\exists x{\mathit {Liebt}}(x,y)}" loading="lazy"></dt>

<dd>Für jede/n gibt es jemanden, der/die ihn oder sie liebt (wörtlich: Für jedes Ding gibt es ein Ding, sodass letzteres ersteres liebt); kürzer: Niemand ist ungeliebt.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Komplexe_Beispiele">Komplexe Beispiele</h4></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x(F(x)\wedge \forall y(F(y)\rightarrow x=y))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab8347f1cec340d00f9d91f7c077e2803d3f512a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.054ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists x(F(x)\wedge \forall y(F(y)\rightarrow x=y))}" loading="lazy"></dt>

<dd>„Es gibt genau ein F,“ wörtlicher: „Es gibt mindestens ein ‚Ding‘, das einerseits F ist und für das gilt, dass alle ‚anderen‘ F mit diesem identisch sind.“</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists xF(x)\wedge \forall x\forall y((F(x)\wedge F(y))\rightarrow x=y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61a909e3dacd01572bcc355154aca216e13b422c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.139ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists xF(x)\wedge \forall x\forall y((F(x)\wedge F(y))\rightarrow x=y)}" loading="lazy"></dt>

<dd>Ein Synonym zum vorgenannten Satz, wörtlich: „Es gibt mindestens ein F, und für alle ‚Dinge‘ x und alle ‚Dinge‘ y gilt: Wenn sowohl x als auch y F sind, dann sind x und y identisch.“</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wechselseitige_Definierbarkeit_der_Quantoren">Wechselseitige Definierbarkeit der Quantoren</h3></div>

In der <a href="Klassische_Logik" title="Klassische Logik">klassischen Logik</a> lässt sich jeder der beiden Quantoren durch den jeweils anderen ausdrücken:

<ol><li>Die <a href="Allaussage" title="Allaussage">Allaussage</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x\varphi (x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\varphi (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d380eff12756f9c8d31e4b40e2a276cec16a0783.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.281ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x\varphi (x)}" loading="lazy"> („alle x sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy">“) ist äquivalent mit einer verneinten <a href="Existenzaussage" title="Existenzaussage">Existenzaussage</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lnot (\exists x\lnot \varphi (x))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lnot (\exists x\lnot \varphi (x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3387a123d1b2ca4bcd5aecf98e182644ff3b239.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.191ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lnot (\exists x\lnot \varphi (x))}" loading="lazy"> („es gibt kein x, das nicht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> ist“); dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c4046f1f2de7df04bde418ba2bc4d3898ac2385.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.659ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x)}" loading="lazy"> eine <a href="Aussageform" title="Aussageform">Aussageform</a>, in der die Variable x frei vorkommen darf, aber nicht muss.</li>

<li>Die Existenzaussage <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists x\varphi (x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x\varphi (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01a7b11b7d7d95813328e8e387f5e9bec137b682.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.281ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists x\varphi (x)}" loading="lazy"> („mindestens ein x ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy">“) ist äquivalent mit einer verneinten Allaussage, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lnot (\forall x\lnot \varphi (x))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lnot (\forall x\lnot \varphi (x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29b241d7eff7bfb00d84cabc76dbf703ea244d3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.191ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lnot (\forall x\lnot \varphi (x))}" loading="lazy"> („Es ist nicht der Fall, dass alle x nicht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"> sind“).</li></ol>

Auf Grund obiger Äquivalenzen kann man sich damit begnügen, in einer formalen Sprache für die klassische Prädikatenlogik nur einen der beiden Quantoren als Grundzeichen zu verwenden und den anderen Quantor gegebenenfalls durch diesen zu <a href="Definition" title="Definition">definieren</a>.

<dl><dt>Beispiel für (1)</dt>

<dd>Wenn alles vergänglich ist, so ist nichts unvergänglich. Umgekehrt: Ist nichts unvergänglich, so sind alle Dinge vergänglich.</dd>

<dt>Beispiel für (2)</dt>

<dd>Wenn es etwas Grünes gibt, so sind nicht alle Dinge nicht grün. Umgekehrt: Sind nicht alle Dinge nicht grün, muss es etwas Grünes geben.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Moderne_Quantoren_und_aristotelische_Syllogistik">Moderne Quantoren und aristotelische Syllogistik</h3></div>

Bei der Formalisierung einer Allaussage ist zu beachten, dass gemäß den Bedeutungsfestlegungen von Allquantor und Implikation eine Aussage „Für alle x: Wenn A(x), dann B(x)“ bereits wahr ist, wenn es keine A gibt. Demnach ist also beispielsweise die Aussage:

<dl><dd>Alle eckigen Kreise sind golden.</dd></dl>

wahr, weil es keine eckigen Kreise gibt.

Dies führt dazu, dass manche Schlussfolgerungen der <a href="Aristoteles" title="Aristoteles">aristotelischen</a> <a href="Syllogismus" title="Syllogismus">Syllogistik</a> nicht gültig sind, wenn man deren Allaussagen mit den modernen Quantoren identifiziert.

Als Beispiel sei der so genannte Modus Barbari aufgeführt:

<dl><dd>Alle Münchner sind Bayern, (Formalschreibweise mit Quantoren: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x(M(x)\rightarrow B(x))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x(M(x)\rightarrow B(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ef38048a011de7d883093208d14b769bbe4a44f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.53ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x(M(x)\rightarrow B(x))}" loading="lazy">)</dd>

<dd>alle Schwabinger sind Münchner, (formal: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88673954bdc104b3a1df5fa0b0b2320f6da3daef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.265ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}" loading="lazy">) es folgt:</dd>

<dd>einige Schwabinger sind Bayern. (formal: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists x(S(x)\land B(x))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists x(S(x)\land B(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a85de2b82de7b948aece5e9eb54267a15eedc8c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exists x(S(x)\land B(x))}" loading="lazy">)</dd></dl>

Nach moderner Auffassung wären die <a href="Pr%C3%A4misse" title="Prämisse">Prämissen</a> beide wahr, wenn es überhaupt keine Schwabinger und Münchner gäbe. Dann wäre aber die <a href="Konklusion" class="mw-redirect" title="Konklusion">Konklusion</a> falsch: Da es keine Schwabinger gäbe, könnten dann auch nicht einige Schwabinger Bayern sein. Die Prämissen könnten also wahr sein und die Konklusion dennoch falsch, d. h., es handelte sich nicht um einen gültigen Schluss. Aristoteles hat wohl bei einer Aussage „Alle A sind B“ immer die Existenz von As <a href="Pr%C3%A4supposition" title="Präsupposition">vorausgesetzt</a>, sodass die einfache Übersetzung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x(M(x)\rightarrow B(x))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x(M(x)\rightarrow B(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ef38048a011de7d883093208d14b769bbe4a44f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.53ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x(M(x)\rightarrow B(x))}" loading="lazy"> seinen Absichten nicht gerecht wird. Welches die adäquate Interpretation und Übersetzung der syllogistischen Allaussagen ist, ist bis heute Gegenstand der Forschung; Informationen und Literaturhinweise gibt der Artikel <a href="Syllogismus" title="Syllogismus">Syllogismus</a>.

Auch bei der einfachen Übersetzung als allquantifizierte Implikation gültig ist jedoch beispielsweise der so genannte Modus Barbara, nach dem aus den obigen Prämissen folgt:

<dl><dd>Alle Schwabinger sind Bayern (formal: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow B(x))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow B(x))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fe063fc656ad289affb4c79ae87cc384e105987.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.587ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x(S(x)\rightarrow B(x))}" loading="lazy">).</dd></dl>

Diese Aussage folgt, weil sie nach moderner Auffassung auch dann wahr wäre, wenn es gar keine Schwabinger gäbe.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anzahlquantoren">Anzahlquantoren</h2></div>

Neben All- und Existenzquantor werden in der Logik gelegentlich Anzahlquantoren gebraucht. So lässt sich ausdrücken, dass es „genau ein“, „genau zwei“, ... Dinge gibt, für die irgendetwas gilt.

Im Unterschied zum Existenzquantor, der besagt, dass es mindestens ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> gibt, für das etwas gilt, bedeutet der Eindeutigkeitsquantor oder Einzigkeitsquantor, dass es genau ein solches <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> gibt (nicht mehr und nicht weniger). Für ihn schreibt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists !x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists !x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27f67a3b751bc158cddcca5437717fc574564113.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.269ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \exists !x}" loading="lazy"> oder auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \bigvee _{x}^{\bullet }}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \bigvee _{x}^{\bullet }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/24eebb5f6f78337486b8541c79f85d8f3cd696e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.108ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \bigvee _{x}^{\bullet }}" loading="lazy">. Man kann diesen Quantor vermittels des All- und Existenzquantors sowie des <a href="Identit%C3%A4t_(Logik)" title="Identität (Logik)">Identitätszeichens</a> „=“ wie folgt definieren:

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists !xB(x)=\exists x{\bigl (}B(x)\land \forall y\ (B(y)\rightarrow y=x){\bigr )}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/060b738a21fdc08a1aff642597c19aa5ae404472.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:42.273ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \exists !xB(x)=\exists x{\bigl (}B(x)\land \forall y\ (B(y)\rightarrow y=x){\bigr )}}" loading="lazy">,</dd></dl>

in Worten:

<dl><dd>„Es gibt genau ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">, für das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5dfb5ce580fb90ec93f88f878c55ea000650826.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.903ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(x)}" loading="lazy"> gilt, ist gleichbedeutend damit, dass ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> existiert, für das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5dfb5ce580fb90ec93f88f878c55ea000650826.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.903ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(x)}" loading="lazy"> gilt und für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> gilt: wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(y)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8822b67a0f72dba8522cc792f49eb25eed661908.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.729ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(y)}" loading="lazy"> gilt, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"> identisch mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">.“</dd></dl>

Allgemein lassen sich analog zum Einzigkeitsquantor für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> auch Quantoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists ^{=n}x}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists ^{=n}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43e3960a0bf486e831c8ccf0ac282637a6ea7549.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.119ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \exists ^{=n}x}" loading="lazy"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \bigvee _{x}^{n}}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \bigvee _{x}^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6350ad62a188672452cae95b426cfe71e2b97a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.154ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \bigvee _{x}^{n}}" loading="lazy">) definieren, die besagen, dass es genau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> verschiedene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> gibt. Insbesondere ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists ^{=1}x}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists ^{=1}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ea0c3bd69178d875a1ed669a20892dc9eaf7a53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.955ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \exists ^{=1}x}" loading="lazy"> äquivalent zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exists !x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists !x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27f67a3b751bc158cddcca5437717fc574564113.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.269ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \exists !x}" loading="lazy">.

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exists ^{=0}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e11f4364883da8524a067081ca4735d5a8b0a28.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.955ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \exists ^{=0}x}" loading="lazy"> definiert man entsprechend als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lnot \exists x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lnot \exists x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f34f775252139d4742d42329a94be12cf24bff8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.173ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lnot \exists x}" loading="lazy">, wofür manchmal auch der Quantor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nexists }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nexists }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/105571be31b330ddf22ac965fc50efedfb59de7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.19ex; width:1.484ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \nexists }" loading="lazy"> benutzt wird: „Es gibt kein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> mit ...“

Weitere Quantoren, wie „die meisten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">“ werden in der Logik nur selten behandelt. Ein Anwendungsgebiet für solche Quantoren ist die <a href="Semantik" title="Semantik">Semantik</a> <a href="Nat%C3%BCrliche_Sprache" title="Natürliche Sprache">natürlicher Sprachen</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Meta-Ontologie" title="Meta-Ontologie">Meta-Ontologie</a></li>

<li><a href="Quantorenunvertr%C3%A4glichkeit" title="Quantorenunverträglichkeit">Quantorenunverträglichkeit</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> „Quantor“, in: <a href="Historisches_W%C3%B6rterbuch_der_Philosophie" title="Historisches Wörterbuch der Philosophie">Historisches Wörterbuch der Philosophie</a>, Band 7, S. 1830.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Vgl. dazu <a href="George_A._Miller" title="George A. Miller">George A. Miller</a>: Wörter. Streifzüge durch die Psycholinguistik. Herausgegeben und aus dem Amerikanischen übersetzt von <a href="Joachim_Grabowski" title="Joachim Grabowski">Joachim Grabowski</a> und <a href="Christiane_Fellbaum" title="Christiane Fellbaum">Christiane Fellbaum</a>. Spektrum der Wissenschaft, Heidelberg 1993; Lizenzausgabe: Zweitausendeins, Frankfurt am Main 1995; 2. Auflage ebenda 1996, ISBN 3-86150-115-5, S. 238 (Quantifikatoren).

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="Florian_Cajori" title="Florian Cajori">Florian Cajori</a>: A History of Mathematical Notations. Volume II: Notations Mainly in Higher Mathematics. Open Court, Chicago 1929, nachgedruckt als ein Band bei Dover, ISBN 0-486-67766-4.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Gentzen: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN266833020_0039">Untersuchung über das logische Schließen</a>. In: Mathematische Zeitschrift 39, 1934, 176–210.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Quantor" class="extiw external" title="wikt:Quantor">Wiktionary: Quantor</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Quantor" class="extiw external" title="b:Mathe für Nicht-Freaks: Quantor">Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Quantor</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4128275-9">4128275-9</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2024-06-15" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Quantor&oldid=245929169">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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